Người ta kéo vật nặng bằng một lực vectơ F có cường độ 100 N . Biểu diễn tọa độ vectơ F trong hệ tọa độ đã cho trong hình ta được vectơ F = (x; y; z), khi đó x + y + z căn bậc hai 3 bằng bao

Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực \(\vec F\) lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là vectơ \({\vec F_{xy}}\).

Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \). Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng \(Oz\) là: \(z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \).

Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: \(\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).

Phân tích vectơ hình chiếu đáy \({\vec F_{xy}}\) lên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), góc hợp với trục \(Ox\) là \(45^\circ \), nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:

Hoành độ: \(x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2 \)

Tung độ: \(y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2 \)

Tọa độ vectơ lực thu được là \(\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).

Tính giá trị biểu thức: \(x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150\).

Đáp số: 150.