Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ
11/11
Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt\(CJ = x,(x > 0).\)
Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:
\(\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}} \Leftrightarrow \frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}} \Leftrightarrow KB = \frac{{60}}{x}.\)
Diện tích của khu nuôi cá là:\(S = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right).\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right).\)
\( \Leftrightarrow S(x) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) \Leftrightarrow S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: \(6x + \frac{{150}}{x} \ge 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} = 60\)
Dấu bằng xảy ra khi \(6x = \frac{{150}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 25 \Leftrightarrow x = 5\).
Nên \(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 60 + 60 = 120\)
Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120({m^2})\), đạt được khi \(x = 5\,m\).