Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f ( x ) =ax^3 + bx^2 + cx +
20/22
Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 6\) và \(y = g(x) = - b{x^2} + mx + n\) trong đó \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng \( - 2;1;3\). Chi phí trồng hoa là \(150\;000\) đồng/\(1{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 3163
Ta có \(f(x) - g(x) = (a{x^3} + b{x^2} + cx + 6) - ( - b{x^2} + mx + n) = a{x^3} + 2b{x^2} + (c - m)x + 6 - n\).
Dựa vào đồ thị, ta quan sát thấy parabol \(y = g(x)\) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) nên \(g(0) = 0 \Rightarrow n = 0\)
Theo giả thiết, đồ thị hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) cắt nhau tại \(3\) điểm có hoành độ \(x = - 2\), \(x = 1\), \(x = 3\) nên phương trình \(f(x) - g(x) = 0\) có \(3\) nghiệm là \( - 2;1;3\). Do đó ta có thể viết: \(f(x) - g(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)\) \( = a({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)\) \( = a{x^3} - 2a{x^2} - 5ax + 6a\).
Đồng nhất hệ số tự do của hai đa thức \(f(x) - g(x)\), ta được: \(6 - n = 6a \Rightarrow 6 - 0 = 6a \Rightarrow a = 1\).
Khi đó, hiệu hai hàm số là: \(f(x) - g(x) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6\).
Diện tích \(S\) của phần tô đậm là: \(S = \int_{ - 2}^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} {\rm{d}}x\).
Dựa vào đồ thị, trên đoạn \([ - 2;1]\) đồ thị hàm số \(f(x)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(g(x)\) (hay \(f(x) \ge g(x)\)), và trên đoạn [1; 3] đồ thị hàm số \(f(x)\) nằm phía dưới đồ thị \(g(x)\) (hay \(f(x) \le g(x)\)). Phá dấu giá trị tuyệt đối ta có:
\(S = \int_{ - 2}^1 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x - \int_1^3 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x\).
Tính các tích phân thành phần:
\(\int_{ - 2}^1 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = \frac{{37}}{{12}} - \left( { - \frac{{38}}{3}} \right) = \frac{{63}}{4}\).
\(\int_1^3 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 = - \frac{9}{4} - \frac{{37}}{{12}} = - \frac{{16}}{3}\).
Suy ra diện tích phần tô đậm là: \(S = \frac{{63}}{4} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{253}}{{12}}{\rm{ (}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).
Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là: \(T = \frac{{253}}{{12}} \times 150\;000 = 3\;162\;500\) (đồng).
Đổi sang đơn vị nghìn đồng ta được 3162,5 nghìn đồng. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta được 3163 (nghìn đồng).