Người ta đo được AB = 10m, HC = 1,7m, alpha = 63 độ, beta = 48 độ. Tính chiều cao của cây đó.
19/21
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận.Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Từ hai vị trí \(A\),\(B\) người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy \(C\) là điểm gốc cây, \(D\) là điểm ngọn cây. \(A\),\(B\) cùng thẳng hàng với điểm \(H\) thuộc chiều cao \(CD\) của cây. Người ta đo được\(AB = 10m\), \(HC = 1,7m\), \(\alpha = 63^\circ \), \(\beta = 48^\circ \). Tính chiều cao của cây đó.
Ta có \(\alpha = 63^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}}\)\( \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)
Tam giác \(BHD\) vuông tại \(H\)nên có: \(\sin \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}}\)\( \Rightarrow HD = BD.\sin \widehat {HBD}\)
Vậy\[HD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {HBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\] \[ = \frac{{10.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 25,58m\].
Suy ra chiều cao của cây là: \(CD = CH + HD\)\( = 1,7 + 25,58\)\( = 27,28m\).