Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là A'C và BD'. Giá sợi dây cáp là 100 nghìn đồng/mét.
13/22
Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]có kích thước \[AD = 20\,{\rm{m}}\], \[AB = 10\,{\rm{m}}\], \[AA' = 5\,{\rm{m}}\] và được gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox chứa điểm D, tia Oy chứa điểm B, tia Oz chứa điểm A' như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.
Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là A'C và BD'. Giá sợi dây cáp là 100 nghìn đồng/mét.
Tọa độ các điểm \(B\left( {0;10;0} \right),C\left( {20;10;0} \right),A'\left( {0;0;5} \right),D'\left( {20;0;5} \right)\).
Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng nói trên là 2613 nghìn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).
Mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) có phương trình là \[y + z - 10 = 0\].
Trên dây A'C, một điểm sáng M chuyển động đều từ A' đến C với vận tốc 3 m/s. Đồng thời, trên dây BD', điểm sáng N chuyển động đều từ B đến D' với vận tốc 2 m/s. Tính từ khi hai điểm sáng bắt đầu chuyển động đến khi có ít nhất một điểm sáng về đích thì khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm sáng M và N bằng 3,77 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Đúng. Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;5} \right),B\left( {0;10;0} \right),D\left( {20;0;0} \right)\).
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \Rightarrow C\left( {20;10;0} \right)\].
\[\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \Rightarrow D'\left( {20;0;5} \right)\].
b) Sai. \[AC' = BD' = \sqrt {{{20}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {525} \] (mét).
Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng AC' và BD' là: \[2 \cdot \sqrt {525} \cdot 100 = 4583\] (nghìn đồng).
c) Đúng. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\): \[\overrightarrow {A'B} = \left( {0;10; - 5} \right)\]; \[\overrightarrow {A'C} = \left( {20;10; - 5} \right)\].
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {0; - 100; - 200} \right) = - 100\left( {0;1;2} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là \[\overrightarrow n = \left( {0;1;2} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là: \[y + 2z - \left( {2 \cdot 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z - 10 = 0\].
d) Đúng.
+ Tại thời điểm t = 0 hai điểm sáng M, N bắt đầu chuyển động.
Do điểm sáng M di chuyển với vận tốc là 3 m/s, điểm sáng N di chuyển với vận tốc là 2 m/s trên cùng đoạn đường bằng nhau, nên điểm sáng M sẽ đến đích trước tại thời điểm t với điều kiện \[0 \le t \le \frac{{\sqrt {525} }}{3}\].
Ta có \({\overrightarrow v _M} = k \cdot \overrightarrow {A'C} \,\,\left( {k > 0} \right) \Rightarrow k = \frac{{\left| {{{\overrightarrow v }_M}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'C} } \right|}} = \frac{3}{{\sqrt {{{20}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{35}}\).
Suy ra \[{\overrightarrow v _M} = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7};\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7};\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}} \right)\].
+ Tại thời điểm t:
Ta có \[\overrightarrow {A'M} = t \cdot \overrightarrow {{v_M}} \] \[\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \overrightarrow {A'M} = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7}t;\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7}t;\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}t} \right)\end{array}\]\[\begin{array}{l}\\ \Rightarrow M = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7}t;\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7}t;\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}t + 5} \right)\end{array}\].
Ta có \[\overrightarrow {BN} = t \cdot \overrightarrow {{v_N}} \]tương tự ta suy ra \[\begin{array}{l}\\N = \left( {\frac{{8\sqrt {21} }}{{21}}t;\,\frac{{ - 4\sqrt {21} }}{{21}}t + 10;\,\frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}t\,} \right)\end{array}\].
Khi đó
\[\begin{array}{l}\\{d^2}\left( t \right) = M{N^2} = {\left( {\frac{{ - 4\sqrt {21} }}{{21}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 10\sqrt {21} }}{{21}}t + 10} \right)^2} + {\left( {\frac{{5\sqrt {21} }}{{21}}t - 5} \right)^2}\\{d^2}\left( t \right) = \frac{{47}}{7}{t^2} - \frac{{250\sqrt {21} }}{{21}}t + 125\end{array}\]
\[{d^2}\left( t \right)\] là tam thức bậc hai có \[a = \frac{{47}}{7} > 0\].
\[{d^2}\left( t \right)\]đạt giá trị nhỏ nhất tại \[{t_0} = \frac{{250\sqrt {21} \cdot 7}}{{2 \cdot 21 \cdot 47}} \Rightarrow {d^2}\left( {{t_0}} \right) = \frac{{2000}}{{141}}\].
\[{d_{\min }} = \sqrt {{d^2}\left( {{t_0}} \right)} \approx 3,77\].