Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng
22/22
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right)\). Giả sử \({K_0}\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \({K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) có cao độ bằng 19.
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {a;b;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số thực. Tính \(P = a + b - c\)?
Bốn đỉnh cột \(M,N,P,Q\) đều có cùng cao độ \(z = 30\), hình chiếu của bốn điểm này lên mặt phẳng Oxy tạo thành một hình chữ nhật có các đỉnh là \(\left( {90;0} \right),\left( {90;120} \right),\left( {0;120} \right),\left( {0;0} \right)\).
Vị trí ban đầu \({K_0}\) cách đều cả 4 đỉnh \(M,N,P,Q\), do đó hình chiếu của \({K_0}\) lên mặt phẳng Oxy phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp (cũng chính là tâm) của hình chữ nhật đáy hình chiếu.
Tọa độ hình chiếu (tâm hình chữ nhật): \(x = \frac{{90 + 0}}{2} = 45,\quad y = \frac{{120 + 0}}{2} = 60\).
Vì \({K_0}\) có cao độ bằng 25 nên tọa độ của \({K_0}\) là \(\left( {45;60;25} \right)\).
Camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) có cao độ bằng 19. Do hạ theo phương thẳng đứng nên hoành độ và tung độ của \({K_1}\) giữ nguyên giống như \({K_0}\). Vậy tọa độ của \({K_1}\) là \(\left( {45;60;19} \right)\).
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {45 - 45;60 - 60;19 - 25} \right) = \left( {0;0; - 6} \right)\).
Từ đó suy ra \(a = 0,b = 0,c = - 6\).
Giá trị của biểu thức \(P = a + b - c = 0 + 0 - \left( { - 6} \right) = 6\).
Đáp án: 6.