Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD.  Gọi O=AC∩BD đặt AB=x  x>0  tính SO theo x.

Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD. Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥ABCD

Đặt AB=x  x>0 ta có SABCD=x2

⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13SO.x2=16⇔SO=48x2

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính SM theo x, từ đó tính SΔSCD  theo x.

Gọi M là trung điểm của CD ta có CD⊥OMCD⊥SO⇒CD⊥(SOM)⇒CD⊥SM

Ta cóOM=12AD=12AB=x2  áp dụng định lí Pytago ta có:

SM=SO2+OM2=48x22+x24
⇒SΔSCD=12SM.CD=1248x22+x24.x=12482x2+x44

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì SΔSCD  nhỏ nhất ⇒482x2+x44  đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 482x2+x44=1152x2+1152x2+x44≥31152x2.1152x2.x443≥3.3317763 (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là 4.3.3317763≈831 cm3