Người ta buộc chú cún bằng sợi dây có một đầu buộc cố định tại điểm O làm cho chú cún cách điểm O xa nhất là 9m Hỏi với các kích thước đã cho như hình trên, chú cún có thể đến các vị trí A,,B
12/13
1) Người ta buộc chú cún bằng sợi dây có một đầu buộc cố định tại điểm \(O\) làm cho chú cún cách điểm \(O\) xa nhất là \(9{\rm{\;m}}.\) Hỏi với các kích thước đã cho như hình trên, chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật \[ABCD\] hay không?
2) Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, các đường cao \(AD,\) \(BE\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh: ΔADC∽ΔBEC.
b) Chứng minh: \[HE \cdot HB = HA \cdot HD.\]
c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB.\) Chứng minh: \[AF \cdot AB = AH \cdot AD.\]
d) Chứng minh: \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Hướng dẫn giải
1) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(AMO,\,\,ONC,\,\,OMD,\,\,OBE,\) ta tính được:
⦁ \(O{A^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) hay \(OA = 5{\rm{\;m;}}\)
⦁ \(O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(OC = 10{\rm{\;m}};\)
⦁ \(O{D^2} = {3^2} + {8^2} = 73\) hay \(OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}};\)
⦁ \(O{B^2} = {4^2} + {6^2} = 52\) hay \(OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}}{\rm{.}}\)
Vì \[OA = 5{\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OC = 10{\rm{\;m}} > 9{\rm{\;m}}{\rm{,}}\] nên chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,D,\,\,B\) nhưng không thể đến được vị trí \(C.\)
2)
a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BEC\) có:
\(\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung.
Do đó ΔADC∽ΔBEC (g.g).
b) Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta HDB\) có:
\(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)
Do đó ΔHEA∽ΔHDB (g.g).
Suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(HE \cdot HB = HA \cdot HD.\)
c) Vì \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, nên \(CH \bot AB,\) hay \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAB}\) là góc chung
Do đó ΔAFH∽ΔADB (g.g).
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AF \cdot AB = AD \cdot AH.\)
d) Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.\)
Tương tự: \(\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};\) \(\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.\)
Khi đó \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]