Người chỉ huy ở tàu sân bay phát tín hiệu để hai chiến đấu cơ đáp xuống các vị trí M, N cách nhau 5 căn bậc hai 6 m. Tổng đường bay AM + BN ngắn nhất bằng bao nhiêu mét

31/35

Người chỉ huy ở tàu sân bay phát tín hiệu để hai chiến đấu cơ đáp xuống các vị trí M, N cách nhau \[5\sqrt 6 \,\,{\rm{m}}\]. Tổng đường bay \[AM + BN\] ngắn nhất bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải thích

Lời giải

Người chỉ huy ở tàu sân bay phát tín hiệu để hai chiến đấu cơ đáp xuống các vị trí M, N cách nhau 5 căn bậc hai 6 m. Tổng đường bay AM + BN ngắn nhất bằng bao nhiêu mét (ảnh 1)

Lấy điểm E thỏa mãn \[\overrightarrow {A'E} = \overrightarrow {MN} \]; suy ra \[A'M = EN\].

Vì \[A'\] cố định mà \[A'E = 5\sqrt 6 \] nên E thuộc đường tròn tâm \[A'\], bán kính \[r = 5\sqrt 6 \]; đường tròn này thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \[A'\] và song song với \(\left( P \right)\).

Gọi K, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B trên \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) suy ra \[K\left( { - 5\,;\,\,10\,;\,\,25} \right) \Rightarrow HK = 15\sqrt 6 \]; \[KF = HA' = AH = 10\sqrt {33} \].

Ta có \[AM + BN = A'M + BN = EN + BN \ge BE\].

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[E\,,\,\,N\,,\,\,B\] thẳng hàng theo thứ tự đó (H, M, N, K thẳng hàng).

Ta có: \[BE = \sqrt {B{F^2} + {{\left( {A'F - A'E} \right)}^2}} \]\[ = \sqrt {{{\left( {BK + KF} \right)}^2} + {{\left( {HK - MN} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {20\sqrt {14} + 10\sqrt {14} } \right)}^2} + {{\left( {15\sqrt 6 - 5\sqrt 6 } \right)}^2}} \]\[ = 20\sqrt {33} \].

Vậy tổng độ dài \[AM + BN\] bé nhất là \[20\sqrt {33} \approx 115\,\,{\rm{m}}\].

Đáp án: 115.