Đáp án đúng là: C

f(x) = m²(x⁴ ‒ 1) + m(x² ‒ 1) ‒ 6(x ‒ 1) ≥ 0, x ∈ ℝ

⇔ m²(x² ‒ 1)(x² + 1) + m(x ‒ 1)(x + 1) ‒ 6(x ‒ 1) ≥ 0, x ∈ ℝ

⇔ (x ‒ 1)[m²x³ + m²x² + (m² + m)x + m² + m ‒6], x ∈ ℝ

Để bất phương trình luôn đúng với mọi x thì suy ra:

• TH1: Phương trình m²x³ + m²x² + (m² + m)x + m² + m ‒6 = 0 nghiệm đúng với mọi x

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 0\\{m^2} = 0\\{m^2} + m = 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

•TH2: Đa thức m²x³ + m²x² + (m² + m)x + m² + m ‒6 có nghiệm x = 1

Khi đó:

m²x³ + m²x² + (m² + m)x + m² + m ‒6 = 0 ⇔ 4m² + 2m ‒ 6 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Thử lại:

Với m = 1 thì (x ‒ 1)[x³ + x² + 2x ‒ 4] ≥ 0 ⇔ (x ‒ 1)²(x² + 2x + 4) ≥ 0 (luôn đúng)

Với \[m = - \frac{3}{2}\] thì \(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{9}{4}{x^3} + \frac{9}{4}{x^2} + \frac{3}{4}x - \frac{{21}}{4}} \right) \ge 0\)

⇔ (x ‒1)(3x³ + 3x² + x ‒ 7) ≥ 0 ⇔ (x ‒ 1)²(3x² + 6x + 7) ≥ 0 (luôn đúng)

Do đó \(m = 1;m = - \frac{3}{2}\) là các giá trị cần tìm.

Tổng \(S = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Nghiệm của phương trình sin x = 1 là