Diện tích cần tìm là (ảnh 2)

Đặt hệ trục như hình vẽ, ta có \(OM\)là đường cao trong tam giác đều \(OAB \Rightarrow OM = \left( {0;3\sqrt 3 } \right)\)Suy ra, tọa độ điểm\(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right)\)và \(B\left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\)

Phương trình parabol đi qua \(A\)và \(B\)có dạng: \(\left( {{C_1}} \right):f\left( x \right) = a{x^2} + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 2ax\,\left( {a > 0} \right)\)

Vì \(\left( {{C_1}} \right)\)đi qua \(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9a + c = 3\sqrt 3 \Rightarrow c = 3\sqrt 3 - 9a\left( * \right)\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(A\)là: \({k_A} = f'\left( 3 \right) = 6a\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(B\)là: \({k_B} = f'\left( { - 3} \right) = - 6a\)

Theo đề bài, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, nên: \({k_A}.{k_B} = 6a.\left( { - 6a} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}\)

Thay \(a = \frac{1}{6}\)vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow c = 3\sqrt 3 - 9.\frac{1}{6} = 3\sqrt 3 - \frac{3}{2}\)

Vậy phương trình parabol \(\left( {{C_1}} \right)\)có dạng:\(f\left( x \right) = \frac{1}{6}{x^2} + 3\sqrt 3 - \frac{3}{2}\)

Diện tích cần tìm là: $S = S_{L G Ð} - 6. S_{p a r a b o l} = 6. S_{Δ O A B} - 6. S_{p a r a b o l} = 6. (S_{Δ O A B} - S_{p a r a b o l})$

Suy ra $S = 6. [\frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} - \int_{- 3}^{3} |3 \sqrt{3} - (\frac{1}{6} x^{2} + 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2})| d x] = 54 \sqrt{3} - 36 \approx 57,5$

Nghiệm của phương trình log4(x − 1) = 3 là.