a) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)Þ Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = - 1\).

b) Đúng. Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = x - 4 + \frac{9}{{x + 1}}\)

Þ \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\).

c) Sai. \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\).

Với \(x = - 4 \Rightarrow y = - 11\); Với \(x = 2 \Rightarrow y = 1\).

Þ Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(A\left( { - 4; - 11} \right),\,B\left( {2;1} \right)\).

Þ Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về hai phía của trục hoành.

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {2 + 4} \right)}^2} + {{\left( {1 + 11} \right)}^2}} = 6\sqrt 5 \).

d) Đúng. Ta có \(g\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = f\left( x \right) + C = \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} + C\)

Vì \(g\left( 0 \right) = 12\) Þ \(C = 7\)Þ \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + 7\)

Þ Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) là \(C\left( { - 4; - 4} \right),D\left( {2;8} \right)\).

$Diện tích tứ giác \(ABDC\) là \(S = AC \cd (ảnh 1)$

Ta có \(ABDC\) là hình bình hành có chiều cao \(DH\) và \(AC = 7,\,DH = 6\).

Diện tích tứ giác \(ABDC\) là \(S = AC \cdot DH = 7 \cdot 6 = 42\).

Nghiệm của phương trình log 5 (2x - 1) = 1 là