Đáp án: 38

Bước 1: Phân tích các khả năng của mỗi lần thử.

Gọi $X$ là số ghi trên thẻ lấy ra. Có 3 trường hợp xảy ra sau mỗi lần thử:

Trường hợp 1 ( $T_{1}$ ): Lấy trúng thẻ số 1. Xác suất $P_{1} = \frac{1}{4}$ . Kết quả: Thêm 1 bóng trắng (0 bóng đen). Số bóng tăng thêm là 1.

Trường hợp 2 ( $T_{2}$ ): Lấy trúng thẻ số 2 hoặc 3. Xác suất $P_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Kết quả: Thêm 1 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 2.

Trường hợp 3 ( $T_{3}$ ): Lấy trúng thẻ số 4. Xác suất $P_{3} = \frac{1}{4}$ . Kết quả: Thêm 2 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 3.

Bước 2: Tìm các kịch bản sau 4 lần thử để hộp $B$ có đúng 8 quả bóng.

Gọi $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ lần lượt là số lần các trường hợp $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ xảy ra sau 4 lần thử ( $n_{1} + n_{2} + n_{3} = 4$ ).

Tổng số bóng trong hộp $B$ là: $1 \cdot n_{1} + 2 \cdot n_{2} + 3 \cdot n_{3} = 8$ .

Ta có hệ phương trình:

${\begin{matrix} n_{1} + n_{2} + n_{3} = 4 \\ n_{1} + 2 n_{2} + 3 n_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} n_{2} + 2 n_{3} = 4 \\ n_{1} = 4 - n_{2} - n_{3} \end{matrix}$

Các bộ số $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ thỏa mãn là:

Kịch bản 1 (KB1): $n_{3} = 0 \Rightarrow n_{2} = 4, n_{1} = 0$ . (Xảy ra $T_{2}$ cả 4 lần).

Kịch bản 2 (KB2): $n_{3} = 1 \Rightarrow n_{2} = 2, n_{1} = 1$ . (Xảy ra $T_{1}$ 1 lần, $T_{2}$ 2 lần, $T_{3}$ 1 lần).

Kịch bản 3 (KB3): $n_{3} = 2 \Rightarrow n_{2} = 0, n_{1} = 2$ . (Xảy ra $T_{1}$ 2 lần, $T_{3}$ 2 lần).

Bước 3: Tính xác suất cho điều kiện S "Số bóng trong hộp $B$ là 8".

KB1: $P (S \cap K B 1) = C_{4}^{4} \cdot (\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ .

KB2: $P (S \cap K B 2) = \frac{4!}{1! 2! 1!} \cdot (\frac{1}{4})^{1} \cdot (\frac{1}{2})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{1} = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ .

KB3: $P (S \cap K B 3) = C_{4}^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2} = 6 \cdot \frac{1}{256} = \frac{3}{128}$ .

Tổng xác suất mẫu số: $P (S) = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{128} = \frac{8 + 24 + 3}{128} = \frac{35}{128}$ .

Bước 4: Tính xác suất để có đúng 2 quả bóng đen trong hộp $B$ (trong điều kiện tổng 8 bóng).

Số bóng đen sau 4 lần thử là $n_{b l a c k} = 0 \cdot n_{1} + 1 \cdot n_{2} + 1 \cdot n_{3} = n_{2} + n_{3}$ .

KB1: $n_{2} + n_{3} = 4 + 0 = 4$ (Loại).

KB2: $n_{2} + n_{3} = 2 + 1 = 3$ (Loại).

KB3: $n_{2} + n_{3} = 0 + 2 = 2$ (Thỏa mãn).

Vậy chỉ có Kịch bản 3 cho kết quả 2 bóng đen.

Xác suất cần tìm là: $P = \frac{P (S \cap K B 3)}{P (S)} = \frac{3 / 128}{35 / 128} = \frac{3}{35}$ .

Bước 5: Kết luận.

Ta có $\frac{a}{b} = \frac{3}{35}$ (đã tối giản) $\Rightarrow a = 3, b = 35$ .

Vậy $a + b = 3 + 35 = 38$ .

Nghiệm của phương trình l o g 2 ( x − 1 ) = 3 là x = 8 . x = 9 . x = 1 0 . x = 7 .