$Từ \(C\) kẻ \(CH \bot AB\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (ảnh 1)$

Từ \(C\) kẻ \(CH \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CHC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'H\)

Nên góc nhị diện \(\left[ {C,AB,C'} \right]\) là \(\widehat {C'HC} \Rightarrow \widehat {C'HC} = 60^\circ \)

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác\(ABC\) ta có

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a.\sin \left( {ACB} \right) = \frac{1}{2}a.2a.\sin 120^\circ = \frac{1}{2}a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) nên a ĐÚNG

b) Áp dụng định lý côsin trong \(\Delta ABC:A{B^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2a.2a.cos120^\circ = 7{a^2}\)

\( \Rightarrow AB = a\sqrt 7 \)

Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a.\sin \left( {ACB} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2}CH.AB \Rightarrow CH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Trong \(\Delta CHC'\) vuông tại \(C \Rightarrow CC' = CH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}\) nên b SAI

c) Trong \(\Delta CHC'\)vuông, kẻ \(CK \bot C'H\) tại \(K\).

Khi đó \(CK \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CK\)

Suy ra \(CK = \frac{{CC'.CH}}{{\sqrt {CC{'^2} + C{H^2}} }} = \frac{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{7}} \right)}^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\) nên c ĐÚNG

d) Trong mp \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD\)

\( \Rightarrow BC//AD \Rightarrow BC//\left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {BC,AC'} \right) = d\left( {BC,\left( {ADC'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right)\)

Kẻ \(CM \bot AD\) tại\(M\). Vì \(BC//AD \Rightarrow \widehat {CAM} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 60^\circ \)

\(CM = AC.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Kẻ \(CI \bot C'M\)tại \(I \Rightarrow CI \bot \left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right) = CI\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta CMC'\) vuông ta có

\(\frac{1}{{C{I^2}}} = \frac{1}{{CC{'^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{9{a^2}}} \Rightarrow CI = \frac{{3a\sqrt {19} }}{{19}}\) nên d ĐÚNG.

Nghiệm của phương trình cos x = cos pi/4 là