Đáp án: 253.

Chi phí vận hành máy móc cho \(x\) sản phẩm là

\(V\left( x \right) = xG\left( x \right) = x \cdot \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} = \frac{{100000{x^2}}}{{1,5x + 1}}\) (đồng).

Chi phí mua nguyên vật liệu(đồng) là

$N (x) = \{\begin{cases} 0,99 {(2 x^{3} + 100000 x - 50000)}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{}^{} {khi}^{} 1 \leq x \leq 200 \\ 0,99 \cdot H (200) + 0,98 {[2 {(x - 200)}^{3} + 100000 (x - 200) - 50000]}^{} {khi}^{} 200 < x \leq 400 \end{cases}$

Lợi nhuận của doanh nghiệp là \(L\left( x \right) = F\left( x \right) - V\left( x \right) - N\left( x \right)\).

l Nếu \(1 \le x \le 200\) thì

\(L\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - \frac{{100000{x^2}}}{{1,5x + 1}} - 0,99\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\).

\(L'\left( x \right) = 3{x^2} - 3998x + 1001000 - \frac{{150000{x^2} + 200000x}}{{{{\left( {1,5x + 1} \right)}^2}}} - 5,94{x^2} - 99000\).

\(L'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 184\).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. (ảnh 1)

Theo bảng biến thiên, ta có \(L{\left( x \right)_{\max }} \approx 80262062\) (đồng) khi \(x \approx 184\) (sản phẩm).

l Nếu \(200 < x \le 400\) thì

$\begin{array}{l} L (x) = x^{3} - 1999 x^{2} + 1001000 x + 250000 - \frac{100000 x^{2}}{1,5 x + 1} - 0,99 \cdot H (200) \\ {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{}^{} - 0,98 [2 {(x - 200)}^{3} + 100000 (x - 200) - 50000] \end{array}$

\(L'\left( x \right) = 3{x^2} - 3998x + 1001000 - \frac{{150000{x^2} + 200000x}}{{{{\left( {1,5x + 1} \right)}^2}}} - 0,98\left[ {6{{\left( {x - 200} \right)}^2} + 100000} \right]\).

\(L'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 253\).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. (ảnh 2)

Theo bảng biến thiên, ta có \(L{\left( x \right)_{\max }} \approx 83893648\) (đồng) khi \(x \approx 253\) (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 253 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Nghiệm của phương trình cos x = 1 là: