Nghiệm của phương trình [2sin x.sin 2x = 3 - căn bậc hai 3.sin x có dạng

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác về các dạng cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                           \[2\sin x\sin 2x = \cos x - \cos 3x.\]

Phương trình trở thành:

                                                         \[\cos x - \cos 3x + \sqrt 3 \sin x = 3.\]

Chia hai vế cho \(2\):

     \[\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{3}{2}.\]

Nhận xét:

             \[\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right).\]

Suy ra:

                    \[\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{3}{2}.\]

Điều này xảy ra khi:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1,}\\{\cos 3x = - 1.}\end{array}} \right.\]

Từ đó:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi ,}\\{3x = \pi + 2k\pi .}\end{array}} \right. \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi .\)

Do đó:

                               \[x = \frac{{a\pi }}{b} + 2k\pi \quad {\rm{v?i}}\quad a = 1,\;b = 3.\]

Suy ra:

                                                                       \[a + b = 1 + 3 = 4.\]

Chọn A.