a) Thay \[x = \frac{{5\pi }}{2}\] vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(\left( {\sin \frac{{5\pi }}{2} - 1} \right)\left( {2\cos \frac{{5\pi }}{2} - m + 1} \right) = 0\) luôn đúng. Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{2}\].

b) Khi \(m = 4\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 3} \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Ta có \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), suy ra tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

c) Khi \(m = 3\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - 2} \right) = 0\,\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\)phương trình có các nghiệm \(0\,;\,\frac{\pi }{2};\,2\pi \).

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right].\)

d) Phương trình \(\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\, \in \left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)

+) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có đúng 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)khi và chỉ khi \(\cos x = \frac{{m - 1}}{2}\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) và khác \(\frac{\pi }{2}\,\)\( \Leftrightarrow - 1 < \frac{{m - 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Nghiệm của phương trình 2^ x = 5 là