$Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng \(OAB.O'A'B'\), trong đó \(OA = OB = 2\,dm\), \(\widehat {AOB} = 120^\circ \), \(OO' = 4\,dm\) (ảnh 2)$

Ta có. \(AB = 2\sqrt 3 \), \(CA = CB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 \), \(DA = DB = 2\sqrt 3 \), \(CM = \frac{1}{2}AB = \sqrt 3 \), \(DM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 3\).

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB.\sin 120^\circ = \sqrt 3 \), \({S_{\Delta CAB}} = \frac{1}{2}CA.CB = 3\), \({S_{\Delta DAB}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), suy ra. \(AB \bot OM\),\(AB \bot CM\),\(AB \bot DM\).

Khi đó. \(\widehat {CMO} = \left( {\left( {OAB} \right),\left( {CAB} \right)} \right)\), \(\widehat {DMO} = \left( {\left( {DAB} \right),\left( {OAB} \right)} \right)\), \(\alpha = \left( {\left( {CAB} \right),\left( {DAB} \right)} \right)\).

Vì \(\Delta OAB\) là hình chiếu của hai tam giác \(CAB\) và \(DAB\) trên mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\).

Ta có. \(\cos \widehat {CMO} = \frac{{{S_{\Delta OAB}}}}{{{S_{\Delta CAB}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow \sin \widehat {CMO} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\),

\(\cos \widehat {DMO} = \frac{{{S_{\Delta OAB}}}}{{{S_{\Delta DAB}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \sin \widehat {DMO} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos \alpha = \cos \left( {\widehat {DMO} - \widehat {CMO}} \right) = \cos \widehat {DMO}\cos \widehat {CMO} + \sin \widehat {DMO}\sin \widehat {CMO}\)

\( = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{5\sqrt 3 }}{9}\).

\( \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{9}} \right)}^2}} \)\( \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{9}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

Từ \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DM\) tại \(H\), suy ra.

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot DM\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow CH\) là đường cao của tứ diện \(ABCD\).

Suy ra. \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}CH.{S_{\Delta DAB}} = \frac{1}{3}CM\sin \alpha .{S_{\Delta DAB}}\)\( = \frac{1}{3}.\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 6 }}{9}.3\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)\( \Rightarrow V_{ABCD}^2 = \frac{2}{3}\).

Mặt khác, gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

Điểm \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CAB\), suy ra. \(IM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IM \bot CM\).

Điểm \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DAB\), suy ra. \(IG \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow IG \bot DM\).

Và điểm \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(DAB\), \(GM = \frac{1}{3}DM = 1\).

Ta có. \(\widehat {GIM} + \widehat {GMI} = 90^\circ = \widehat {GMI} + \widehat {GMC}\)\( \Rightarrow \widehat {GIM} = \widehat {GMC} = \alpha \).

Suy ra. \(GI = GM\cot \alpha = \cot \alpha = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow {R^2} = D{I^2} = D{G^2} + G{I^2} = {2^2} + {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{33}}{2}\).

Vậy số tiền ông An phải trả là \(\left( {\frac{2}{3} + \frac{{33}}{2}} \right).60\,\,000 = 1\,030\,\,000\) đồng.

Nghiệm của phương trình 2^( x − 1 )= 3 là