Lời giải

Đáp án: 0,81

Cách 1:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tính cos (alpha) với (alpha) là góc giữa đường thẳng CH và mặt phẳng (SBC). Biết AB = AC = 3,SA = BC = 4 (ảnh 1)

Trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\): \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Xét hệ trục tọa độ Mxyz

M(0;0;0), B(0;-2;0), C(0;2;0), \(A\left( {\sqrt 5 ;0;0} \right)\), \(S\left( {\sqrt 5 ;0;4} \right)\)

Gọi \(H\left( {{x_H};0;0} \right)\), ta có \(\overrightarrow {CH} = \left( {{x_H}; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt 5 ; - 2;0} \right)\), \[ \Rightarrow \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = - \sqrt 5 .{x_H} + 4 = 0 \Rightarrow {x_H} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\]

\(\overrightarrow {CH} = \left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}; - 2;0} \right)\)

\(\overrightarrow {SB} = \left( { - \sqrt 5 ; - 2; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {SC} = \left( { - \sqrt 5 ;2; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {16;0; - 4\sqrt 5 } \right)\)

Góc giữa đường thẳng HC và mp(SBC):

\(\sin \left( {HC,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{4}{{\sqrt 5 }}.16} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 4\sqrt 5 } \right)}^2}} }} = \frac{{8\sqrt {21} }}{{63}}\)

Suy ra, \(\cos \alpha = \sqrt {1 - \sin \alpha } = \frac{{{\bf{5}}\sqrt {{\bf{105}}} }}{{{\bf{63}}}} \approx 0,8132\)

Cách 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tính cos (alpha) với (alpha) là góc giữa đường thẳng CH và mặt phẳng (SBC). Biết AB = AC = 3,SA = BC = 4 (ảnh 2)

1. Tính các đại lượng ở đáy \[ABC\]:

Gọi \(M\) là trung điểm của \[BC\].

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM \bot BC\). Ta có \(BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 2\).

Trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\): \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Vì \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(H\) nằm trên đường cao AM.

Ta có \(\widehat {BHM} = \hat C\) (vì cùng phụ với \(\widehat {HBC}\)).

Trong \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\): \(\tan C = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Trong \(\Delta BHM\) vuông tại \(M\): \(HM = BM \cdot \cot \widehat {BHM} = BM \cdot \frac{1}{{\tan C}} = 2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta HMC\) vuông tại \(M\):

\(HC = \sqrt {H{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {2^2}} = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\)

2. Xác định góc \(\alpha \) và khoảng cách:

Ta có: \(BC \bot AM\) và \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAM)\).

Từ đó suy ra: \((SBC) \bot (SAM)\) theo giao tuyến SM.

Trong mặt phẳng \((SAM)\), kẻ \(HP \bot SM\) tại \(P\). Vì \((SBC) \bot (SAM)\) nên \(HP \bot (SBC)\).

Do đó, \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \((SBC)\). Góc giữa \[CH\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] chính là góc \(\widehat {HCP} = \alpha \).

3. Tính \(\cos \alpha \):

Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\): \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + 5} = \sqrt {21} \).

Xét \(\Delta HPM\) vuông tại \(P\), ta có \(\sin \widehat {SMP} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

\(HP = HM \cdot \sin \widehat {SMP} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{4}{{\sqrt {21} }} = \frac{{16}}{{\sqrt {105} }}\)

Xét \(\Delta HPC\) vuông tại \(P\):

\(\sin \alpha = \frac{{HP}}{{HC}} = \frac{{\frac{{16}}{{\sqrt {105} }}}}{{\frac{6}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{16}}{{6\sqrt {21} }} = \frac{8}{{3\sqrt {21} }}\)

Suy ra giá trị của \(\cos \alpha \):

\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{9 \cdot 21}}} = \sqrt {\frac{{125}}{{189}}} = \frac{{5\sqrt {105} }}{{63}}\)

Kết luận: \(\cos \alpha = \frac{{{\bf{5}}\sqrt {{\bf{105}}} }}{{{\bf{63}}}}\).

Nghiệm của phương trình 1/3^(- 2x - 1) = 27 là