$Vậy chiều cao của cây là \(12\) m. (ảnh 1)$

a) Xét hai tam giác: \({\rm{\Delta }}AMH\) và \({\rm{\Delta }}AHB\) có:

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HM \bot AB\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAB}\) là góc chung (hay \(\widehat {MAH} = \widehat {HAB}\)).

Suy ra $Δ A M H ∽ Δ A H B$ (g.g)

b) ⦁ Chứng minh \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\):

Từ $Δ A M H ∽ Δ A H B$ suy ra \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}\).

Chứng minh tương tự $Δ A N H ∽ Δ A H C$ , ta cũng có: \(AN \cdot AC = A{H^2}\).

Từ đó suy ra: \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\)

⦁ Chứng minh \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\):

Từ hệ thức \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) , ta có tỉ số: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}AMN\) và \({\rm{\Delta }}ACB\) có:

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) là góc chung;

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Do đó, $Δ A M N ∽ Δ A C B$ (c.g.c), do đó: \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\).

c) ⦁ Chứng minh \(K{H^2} = KB \cdot KC\):

Ta có: \(\widehat {AHC} = \widehat {AHN}\) (cùng phụ với \(\widehat {NHC}\)).

Tứ giác \(AMHN\) có 3 góc vuông (\(\widehat {A\,\,} = \widehat {M\,} = \widehat {N\,} = 90^\circ \)) nên là hình chữ nhật.

Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\) suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {AMN}\).

Mà \(\widehat {KMB} = \widehat {AMN}\) (hai góc đối đỉnh) suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {KMB}\) hay \(\widehat {KMB} = \widehat {KCN}\).

Xét \({\rm{\Delta }}KBM\) và \({\rm{\Delta }}KNC\) có:

\(\widehat {K\,}\) chung;

\(\widehat {KMB} = \widehat {KCN}\) (cùng bù với \(\widehat {BMN}\)).

Do đó, $Δ K B M ∽ Δ K N C$ suy ra \(\frac{{KB}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KC}}\) hay \(KM \cdot KN = KB \cdot KC\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {KHM} = \widehat {KNH}\)

Xét \({\rm{\Delta }}KHM\) và \({\rm{\Delta }}KNH\) có:

\(\widehat {K\,}\) là góc chung;

\(\widehat {KHM} = \widehat {KNH}\).

Do đó, $Δ K H M ∽ Δ K N H$ suy ra \(\frac{{KH}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KH}}\) suy ra \(K{H^2} = KM \cdot KN\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(K{H^2} = KB \cdot KC\).

⦁ Chứng minh \(\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}\):

Vì \(AB < AC\) nên điểm \(K\) nằm về phía \(B\), thứ tự các điểm trên đường thẳng \(BC\) là \(K - B - H - C\) .

Từ hệ thức \(K{H^2} = KB \cdot KC\) , ta có tỉ lệ thức:

\(\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}} = \frac{{KC - KH}}{{KH - KB}} = \frac{{HC}}{{HB}}\).

Chứng minh tương tự câu b, ta có: \(A{C^2} = HC \cdot BC\) và \(A{B^2} = HB \cdot BC\).

Từ đó suy ra: \(\frac{{HC}}{{HB}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = {\cot ^2}\widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {AMN}\) , do đó: \(\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}\).

Nghiệm của hệ phương trình { 2x − y = 3; x + y = 0 là: