Nghề làm thùng gỗ sồi đựng rượu vang (đặc biệt là chuẩn thùng Barrique của vùng Bordeaux, Pháp) đòi hỏi sự tỉ mỉ và độ chính xác rất cao. Những chiếc thùng này không có dạng hình trụ thẳng đứ
20/22
Nghề làm thùng gỗ sồi đựng rượu vang (đặc biệt là chuẩn thùng Barrique của vùng Bordeaux, Pháp) đòi hỏi sự tỉ mỉ và độ chính xác rất cao. Những chiếc thùng này không có dạng hình trụ thẳng đứng mà phình ra ở giữa. Thiết kế này giúp thợ ủ rượu dễ dàng lăn thùng và cặn rượu được gom lại ở phần rốn bụng. Theo tiêu chuẩn sản xuất, đường viền dọc thân thùng cong dạng một cung parabol.
Một xưởng gỗ chuẩn bị xuất xưởng một chiếc thùng có các thông số kỹ thuật được đo đạc cẩn thận. Nhiệm vụ đặt ra là phải tính toán dung tích thực tế của chiếc thùng này để dán nhãn chính xác trước khi đưa vào hầm ủ. Biết rằng thùng rượu vang có chiều cao \(90\)cm. Đường kính lớn nhất ở phần bụng thùng là \(62\)cm, trong khi đường kính ở hai mặt đáy của thùng là bằng nhau và bằng \(44\)cm. Hỏi thể tích của chiếc thùng đó bằng bao nhiêu lít? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Đáp án: \(224\).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) vào thùng rượu như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\).
Do parabol đi qua các điểm \(\left( {0;31} \right),\left( {45;22} \right),\left( { - 45;22} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 31\\{45^2}a + 45b + c = 22\\{45^2}a + 45b + c = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{225}}\\b = 0\\c = 31\end{array} \right.\).
Vậy parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{{225}}{x^2} + 31\).
Thể tích của thùng rượu là phần thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{{225}}{x^2} + 31\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = - 45,x = 45\) quay quanh trục \(Ox\). Vậy thể tích của thùng rượu là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 45}^{45} {{{\left( { - \frac{1}{{225}}{x^2} + 31} \right)}^2}dx} = 71208\pi \left( {c{m^3}} \right) \approx 224\left( l \right)\).