Nếu V = 3 V ′ thì giá trị của m gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Ta có \(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\sqrt {5 - x} }^2}} dx = \frac{{25\pi }}{2}\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(mx = \sqrt {5 - x} \)\( \Rightarrow {m^2}{x^2} = 5 - x\)\( \Leftrightarrow {m^2}{x^2} + x - 5 = 0\).

Gọi \({x_0}\) là nghiệm dương của phương trình trên.

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(0 < {x_0} < 5\)\( \Rightarrow {m^2}x_0^2 + {x_0} - 5 = 0\)\( \Rightarrow {m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}}\).

Khi đó \[V\prime = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{{x_0}} {{{\left( {mx} \right)}^2}} {\rm{d}}x + {\rm{\pi }}\int\limits_{{x_0}}^5 {{{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x\]\[ = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{{x_0}} {{m^2}{x^2}} {\rm{d}}x + {\rm{\pi }}\int\limits_{{x_0}}^5 {\left( {5 - x} \right)\,} {\rm{d}}x\]

\[ = \pi {m^2}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{{x_0}} + \pi \left. {\left( {5x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{{x_0}}^5\]\[ = \left[ {\frac{{{m^2}x_0^3}}{3} + \frac{{25}}{2} - 5{x_0} + \frac{{x_0^2}}{2}} \right]\pi \] \(\left( * \right)\).

Thế \({m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}}\) vào \(\left( * \right)\) ta được: \(V\prime = \pi \left[ {\frac{{{x_0}\left( {5 - {x_0}} \right)}}{3} + \frac{{25}}{2} - 5{x_0} + \frac{{x_0^2}}{2}} \right]\)\( = \pi \left[ {\frac{{x_0^2}}{6} - \frac{{10{x_0}}}{3} + \frac{{25}}{2}} \right]\).

Theo giả thiết ban đầu \(V = 3V\prime \):

\( \Rightarrow \frac{{25\pi }}{2} = 3\pi \left[ {\frac{{x_0^2}}{6} - \frac{{10{x_0}}}{3} + \frac{{25}}{2}} \right]\)\( \Leftrightarrow \frac{{25}}{2} = \frac{{x_0^2}}{2} - 10{x_0} + \frac{{75}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{2} - 10{x_0} + 25 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 10 + 5\sqrt 2 \\{x_0} = 10 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vì \(0 < {x_0} < 5\) nên \({x_0} = 10 - 5\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}} = \frac{{5 - 10 + 5\sqrt 2 }}{{{{\left( {10 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{10}}\).

\( \Rightarrow m = \sqrt {\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{10}}} \)\( \approx 0,49\). Chọn C.