a)

$Vậy hình thang \(PQFC\) có hai góc (ảnh 1)$

Tứ giác \(AKCH\) có \(M\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(HK\) nên \(AKCH\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Mặt khác, \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ \).

Do đó, hình bình hành \(AKCH\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(HM = \frac{1}{2}AC\). Mà \({\rm{\Delta }}ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\), từ đó \(HM = \frac{1}{2}AB\).

b) Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(AK\,{\rm{//}}\,HC\) và \(AK = HC\).

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(BH = HC\) và \(B,\,\,H,\,\,C\) thẳng hàng.

Do đó \(AK\,{\rm{//}}\,BH\) và \(AK = BH\) nên tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành.

Khi đó, giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(AH\) và \(BK\) là trung điểm của \(AH\).

Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật có \(M\) là giao điểm hai đường chéo nên \(MA = MH\).

Tam giác \(MAH\) cân tại \(M\) có \(O\) là trung điểm của \(AH\) nên đường trung tuyến \(MO\) đồng thời là đường cao, suy ra \(MO \bot AH\).

Mà \(BC \bot AH\) nên \(OM\,{\rm{//}}\,BC\).

c)

$Vậy hình thang \(PQFC\) có hai góc (ảnh 2)$

Xét \({\rm{\Delta }}AFC\) vuông tại \(F\) (do \(CF \bot AB\)) có \(FM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(FM = \frac{1}{2}AC\).

Vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(AC = HK\), suy ra \(FM = \frac{1}{2}HK\).

Xét \({\rm{\Delta }}FHK\) có đường trung tuyến \(FM = \frac{1}{2}HK\) nên \({\rm{\Delta }}FHK\) vuông tại \(F\), suy ra \(FK \bot FH\) hay \(QF \bot HP\) tại \(F\).

Mặt khác, vì \(AKCH\) là hình chữ nhật nên \(KC \bot BC\), hay \(PC \bot HQ\) tại \(C\).

Xét \({\rm{\Delta }}PHQ\) có hai đường cao \(QF\) và \(PC\) cắt nhau tại \(K\) nên \(K\) là trực tâm của \({\rm{\Delta }}PHQ\), suy ra \(HK \bot PQ\).

Vì tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành nên \(HK\,{\rm{//}}\,AB\). Mà \(CF \bot AB\) nên \(CF \bot HK\).

Ta có \(PQ \bot HK\) và \(CF \bot HK\), suy ra \(PQ\,{\rm{//}}\,CF\), do đó tứ giác \(PQFC\) là hình thang.

Trong \({\rm{\Delta }}BFC\) vuông tại \(F\), \(H\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\) nên \(HF = HC\).

Do đó \({\rm{\Delta }}HFC\) cân tại \(H\), suy ra \(\widehat {HFC} = \widehat {FCH}\).

Mặt khác, \(QF \bot FH\) và \(CP \bot CH\) nên:

\(\widehat {QFC} = 90^\circ + \widehat {HFC} = 90^\circ + \widehat {FCH} = \widehat {PCF}\).

Vậy hình thang \(PQFC\) có hai góc kề đáy \(FC\) bằng nhau nên \(PQFC\) là hình thang cân.

Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC thì tam giác ABC là: