Nếu một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng (x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 300) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là F(x) = x^3 − 1999x^2 + 1001000x + 250.000 (đồng).

Đáp án: 136

Doanh thu: \(F(x) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng).

Chi phí vận hành: Vì \(G(x) = 300 + \frac{{100}}{x}\) (nghìn đồng) là chi phí bình quân cho mỗi sản phẩm, nên tổng chi phí vận hành cho \(x\) sản phẩm là:

\({C_{vh}}(x) = x \cdot G(x) \cdot 1000 = x \cdot \left( {300 + \frac{{100}}{x}} \right) \cdot 1000 = 300000x + 100000\) (đồng).

Chi phí nguyên vật liệu: \(H(x) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng).

Lợi nhuận = Doanh thu - (Tổng chi phí)

\(L(x) = F(x) - [{C_{vh}}(x) + H(x)]\)

\(L(x) = ({x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000) - [(300000x + 100000) + (2{x^3} + 100000x - 50000)]\)

\(L(x) =  - {x^3} - 1999{x^2} + 601000x + 200000\) (Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,1 \le x \le 300\))

Tìm giá trị lớn nhất của \(L(x)\) trên đoạn [1; 300]:

\(L'(x) =  - 3{x^2} - 3998x + 601000\)

\(L'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 3998x + 601000 = 0\)

\({x_1} = 136,37...\) (thỏa mãn điều kiện \(1 \le x \le 300\))

\({x_2} =  - 14695,04...\) (loại)

Vì \(L'(x)\) có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới và có nghiệm dương duy nhất \(x \approx 136,37\), ta có bảng biến thiên (hoặc so sánh các giá trị):

Tại \(x = 136\): \(L(136) = 42447040.\)

Tại \(x = 137\): \(L(137) = 42446416\)

So sánh hai giá trị, ta thấy tại \(x = 136\) lợi nhuận cao hơn.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 136 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.