Nếu hình chóp có độ dài trung đoạn là 8 cm thì thể tích của hình chóp S.ABC là

Chọn B.

Gọi \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABC\).

Do\(SH\) là trung đoạn ứng với mặt bên \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\) nên đường cao \(SH\) đồng thời là đường trung tuyến, suy ra \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do đó,\(AH = HB = \frac{1}{2}AB = 6\) (cm).

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(CH\) là đường trung tuyến (\(H\) là trung điểm của \(AB\)) nên đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) suy ra \(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} = 6\sqrt 3 \) (cm).

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt 3 = 36\sqrt 3 \) (cm²).

Do \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(OH = \frac{1}{3}HC = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 \) (cm).

Tương tự, áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta SOH\) vuông tại \(O\) ta tính được \(SO = 2\sqrt {13} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Thể tích của hình chóp là: \(V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt 3 \cdot 2\sqrt {13} = 24\sqrt {39} \) (cm³).