Nếu hàm số f(x) = { x^2 + ax + b khi x < −5 x + 17 khi −5 ≤ x ≤ 10 ax + b + 10 khi x > 10 } liên tục trên ℝ thì a + b bằng:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1.

Vì x < −5, f(x) = x² + ax + b là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (−∞; −5).

Vì −5 < x < 10, f(x) = x + 17 là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (−5; 10).

Vì x > 10, f(x) = ax + b + 10 là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (10; +∞).

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 5 và x = 10.

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = {\left( { - 5} \right)^2} + \left( { - 5} \right)a + b = 25 - 5a + b\) và f(-5) =-5 + 27 = 12.

Để hàm số liên tục tại x = 5 thì 25 – 5a + b = 12 Þ-5a + b =-13 (1)

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} f\left( x \right) = 10a + b + 10\) và f(10) = 10 + 17 = 27.

Để hàm số liên tục tại x = 10 thì 10a + b + 10 = 27 $\Rightarrow$ 10a + b = 17 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 5a + b = - 13\\10a + b = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\).

Do đó, a + b = 2 – 3 =-1.