Nếu bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với kích thước như thế nào?

Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của đáy bể hình hộp chữ nhật \[\left( {x > 0} \right).\]

Khi đó, chiều dài của đáy bể hình hộp chữ nhật là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật là: \[x \cdot 2x = 2{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều cao của bể nước hình hộp chữ nhật đó là: \(\frac{9}{{2{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2\left( {x + 2x} \right) \cdot \frac{9}{{2{x^2}}} = \frac{{54x}}{{2{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt đáy và nắp đậy của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2 \cdot 2{x^2} = 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích cần xây (diện tích toàn phần của bể nước) là: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Như vậy, yêu cầu bài toán đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất của \(S.\)

Ta có: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2} = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2}.\)

Do \(x > 0\) nên \(\frac{{27}}{{2x}} > 0\) và \(4{x^2} > 0,\) áp dụng định lí Cauchy cho ba số dương ta được:

\(S = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2} \ge \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{2x}} \cdot \frac{{27}}{{2x}} \cdot 4{x^2}}} = 9.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{27}}{{2x}} = \frac{{27}}{{2x}} = 4{x^2},\) tức là \(8{x^3} = 27\) hay \(x = \frac{3}{2} = 1,5\) (thỏa mãn).

Do đó, diện tích xây bể nhỏ nhất là \(27{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) khi \[x = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Chi phí thấp nhất để xây bể lúc này là: \(27 \cdot 550\,\,000 = 14\,\,850\,\,000\) (đồng).

Vậy bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với chiều rộng là \(1,5{\rm{\;m,}}\) chiều dài là \[2 \cdot 1,5 = 3{\rm{\;(m),}}\] chiều cao là \(\frac{9}{{2 \cdot 1,{5^2}}} = 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)