Nếu a^2 chia hết cho b^2 thì a có chia hết cho b không? Vì sao?

Giả sử a² chia hết cho b² nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên aaa và b sao cho: a² = kb² (với k là số nguyên)

Nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên dương r sao cho:

a = qb + r, 0 < r < b với q là số nguyên.

Từ giả thiết a² = kb² , ta xét đồng dư của a² theo b:

a² ≡ 0 (modb²)

Tuy nhiên, nếu a không chia hết cho b, thì viết lại dưới dạng chuẩn Euclid:

a = qb + r

Bình phương hai vế:

a² = (qb + r)² = q²b² + 2qbr + r²

Lấy đồng dư theo b²: a² ≡ 2qbr + r² (modb²)

Vì a² ≡ 0 (modb²)

Nên: 2qbr + r² ≡ 0(modb²)

Do 0 < r < b, ta thấy r² < b², nên r² không thể chia hết cho b². Điều này mâu thuẫn với giả thiết a² chia hết cho b²

 Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết a không chia hết cho b là sai.
Vậy nếu a² chia hết cho b² thì a có chia hết cho b.