Hướng dẫn giải

⦁ Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương, ta có:

\[\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b} = \frac{{b\left( {a + c} \right) - a\left( {b + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{ab + bc - ab - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{bc - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}.\]

Theo bài, \(\frac{a}{b} < 1\) nên \(\frac{{b - a}}{b} > 0\) suy ra \(b - a > 0\) (do \(b > 0)\)</>

Do đó \[\frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} > 0\] với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\frac{a}{b} < 1.\)

Như vậy, bất đẳng thức \(\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\,\,\,\left( 1 \right)\) được chứng minh.

⦁ Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương, ta có: \(\frac{a}{{a + b + c}} < 1\).

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được \(\frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}.\)

Tương tự, ta có: \(\frac{b}{{b + c + d}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}};\,\,\,\frac{c}{{c + d + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c + d}};\,\,\,\frac{d}{{d + a + b}} < \frac{{d + a}}{{a + b + c + d}}.\)

Suy ra

\(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c + d}} + \frac{{c + b}}{{a + b + c + d}} + \frac{{d + a}}{{a + b + c + d}}\)

Do đó \(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < \frac{{2\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}} = 2\). (2)

⦁ Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương, ta có: \(a + b + c < a + b + c + d\) nên \(\frac{a}{{a + b + c}} > \frac{a}{{a + b + c + d}}\).</>

Tương tự, ta có \(\frac{b}{{b + c + d}} > \frac{b}{{a + b + c + d}};\,\,\,\frac{c}{{c + d + a}} > \frac{c}{{a + b + c + d}};\,\,\,\frac{d}{{d + a + b}} > \frac{d}{{a + b + c + d}}.\)

Suy ra

\(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} > \frac{a}{{a + b + c + d}} + \frac{b}{{a + b + c + d}} + \frac{c}{{a + b + c + d}} + \frac{d}{{a + b + c + d}}\)

Do đó \(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} > \frac{{a + b + c + d}}{{a + b + c + d}} = 1\). (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2\).

Như vậy bất đẳng thức \(1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{c + d + a}} + \frac{d}{{d + a + b}} < 2\) đã được chứng minh.

Nếu a < b thì . Dấu thích hợp điền vào ô trống là