Nếu α + β + γ = π/ 2 và cot α + cot γ = 2 cot β thì cot α . cot γ bằng

Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết, ta có \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \beta = \frac{\pi }{2} - \left( {\alpha + \gamma } \right).\)
Suy ra \(\cot \alpha + \cot \gamma = 2\cot \beta = 2.\cot \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\alpha + \gamma } \right)} \right] = 2.\tan \left( {\alpha + \gamma } \right) = 2.\frac{{\tan \alpha + \tan \gamma }}{{1 - \tan \alpha .\tan \gamma }}\)
Mặt khác \(\frac{{\tan \alpha + \tan \gamma }}{{1 - \tan \alpha .\tan \gamma }} = \frac{{\frac{1}{{\cot \alpha }} + \frac{1}{{\cot \gamma }}}}{{1 - \frac{1}{{\cot \alpha }}.\frac{1}{{\cot \gamma }}}} = \frac{{\cot \alpha + \cot \gamma }}{{\cot \alpha .\cot \gamma - 1}}\) nên suy ra
\[\cot \alpha + \cot \gamma = 2.\frac{{\cot \alpha + \cot \gamma }}{{\cot \alpha .\cot \gamma - 1}} \Leftrightarrow \cot \alpha .\cot \gamma - 1 = 2 \Leftrightarrow \cot \alpha .\cot \gamma = 3.\]