Nếu \(\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 2\) thì \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Đáp án: 0,71.

Ta có: \(\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x = 2\) (*)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \to \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(2t + {t^2} - 1 = 2\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \sin x + \cos x = 1\)

Ta có \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x + \sin x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,71\)