Nam chơi một trò chơi với những viên bi trên một dãy ô vuông như hình vẽ.
38/235
Nam chơi một trò chơi với những viên bi trên một dãy ô vuông như hình vẽ.
Ban đầu, Nam có thể đặt số lượng bi tùy ý vào ô thứ nhất.
Nam có thể tùy ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai.
Từ ô thứ ba trở đi, nếu Nam muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó
(mỗi ô lấy đúng một con bi) để đổi.
Nếu hai ô ngay trước đó có ít nhất một ô không có bi nào thì không thể thực hiện thao tác này.
Ví dụ, nếu Nam muốn đặt một con bi vào ô thứ ba thì phải lấy một viên bi từ ô thứ nhất và một viên bi từ ô thứ hai để đổi.
Hỏi ở bước đầu tiên, Nam cần đặt tối thiểu bao nhiêu viên bi vào ô thứ nhất để sau một số bước thực hiện trò chơi trên, có thể có một viên bi được đặt ở ô thứ mười?
44.
45.
54.
55.
Phương pháp giải:
Vận dụng kiến thức về dãy số.
Giải chi tiết:
Quy ước ``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\).
Do có thể tùy ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai nên
``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ hai là:
\[{u_2} = {u_1} = 1.\]
Từ ô thứ ba trở đi, nếu muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó,
nên ``giá trị'' của viên bi tại ô thứ \(i\) là:
\[{u_i} = {u_{i - 1}} + {u_{i - 2}}\quad (i \ge 3).\]
Suy ra dãy \(({u_i})\) là dãy Fibonacci:
\[{u_1} = 1,\quad {u_2} = 1,\]
\[{u_3} = 2,\quad {u_4} = 3,\quad {u_5} = 5,\quad {u_6} = 8,\quad {u_7} = 13,\quad {u_8} = 21,\quad {u_9} = 34,\quad {u_{10}} = 55.\]
Do ``giá trị'' của mỗi viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\) nên
cần tối thiểu 55 viên bi ở ô thứ nhất để có thể đổi được \(1\) viên bi ở ô thứ mười.
Đáp án: D.