Nam chơi một trò chơi với những viên bi trên một dải ô vuông như hình vẽ.

7/235

Ban đầu, Nam có thể đặt số lượng bi tuỳ ý vào ô thứ nhất.

Nam có thể tuỳ ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai.

Từ ô thứ ba trở đi, nếu Nam muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó (mỗi ô lấy đúng một con bi) để đổi. Nếu hai ô ngay trước đó có ít nhất một ô không có bi nào thì không thể thực hiện thao tác này.

Ví dụ, nếu Nam muốn đặt một con bi vào ô thứ ba thì phải lấy một viên bi từ ô thứ nhất và một viên bi từ ô thứ hai để đổi.

Hỏi ở bước đầu tiên, Nam cần đặt tối thiểu bao nhiêu viên bi vào ô thứ nhất để sau một số bước thực hiện trò chơi trên, có thể có một viên bi được đặt ở ô thứ mười?

44.

45.

54.

55.

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về dãy số.

Lời giải

Quy ước "giá trị" của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\).

Do có thể tuỳ ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai nên "giá trị" của những viên bi tại ô thứ hai là \({u_2} = {u_1} = 1\).

Từ ô thứ ba trở đi, nếu muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó (mỗi ô lấy đúng một viên bi) để đổi, cho nên "giá trị" của viên bi tại ô thứ \(i\) là \({u_i} = {u_{i - 1}} + {u_{i - 2}}\left( {i \in \mathbb{N};i \ge 3} \right)\)

Khi đó, ta tính được \({u_3} = 2,{u_4} = 3,{u_5} = 5,{u_6} = 8,{u_7} = 13,{u_8} = 21,{u_9} = 34,{u_{10}} = 55\), suy ra giá trị của viên bi tại ô thứ 10 là \({u_{10}} = 55\).

Do "giá trị" của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\) nên cần ít nhất 55 viên bi ở ô thứ nhất để có thể đổi lấy 1 viên bi ở ô thứ 10.