Nam chơi một trò chơi như sau: Nam có hai chiếc hộp, chiếc hộp thứ nhất chứa x

22/235

Nam chơi một trò chơi như sau: Nam có hai chiếc hộp, chiếc hộp thứ nhất chứa \(x\) quả bóng màu đỏ, \(y\) quả bóng màu xanh, chiếc hộp thứ hai chứa \(z\) quả bóng màu đỏ, \(t\) quả bóng màu xanh \(\left( {x,y,z,t \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\). Nam lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai, sau đó lại lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp thứ hai ra.

Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được quả bóng màu xanh từ hộp thứ nhất", \(B\) là biến cố "Lấy được hai quả bóng khác màu từ hộp thứ hai". Với bộ giá trị nào của \(x,y,z,t\) sau đây thì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập?

\(x = 3,y = 6,z = 4,t = 8\)

\(x = 3,y = 4,z = 3,t = 4\)

\(x = 2,y = 5,z = 3,t = 3\)

\(x = 6,y = 6,z = 4,t = 8\)

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Chỉ ra \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\).

Lời giải

Có \(P\left( A \right) = \frac{y}{{x + y}},P\left( {AB} \right) = \frac{y}{{x + y}}.\frac{{z.\left( {t + 1} \right)}}{{C_{z + t + 1}^2}}\) (do \(AB\) chính là việc lấy được một bóngxanh từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy được hai bóng khác màu từ hộp thứ hai).

Có \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = \frac{y}{{x + y}}.\frac{{z\left( {t + 1} \right)}}{{C_{z + t + 1}^2}} + \frac{x}{{x + y}}.\frac{{\left( {z + 1} \right)t}}{{C_{z + t + 1}^2}}\)

Cho \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\)

\( \Rightarrow \frac{y}{{x + y}}.\frac{{z\left( {t + 1} \right)}}{{C_{z + t + 1}^2}} = \frac{y}{{x + y}}.\frac{{yz\left( {t + 1} \right) + xt\left( {z + 1} \right)}}{{\left( {x + y} \right)C_{z + t + 1}^2}}\)

\( \Leftrightarrow z\left( {t + 1} \right) = \frac{{yz\left( {t + 1} \right) + xt\left( {z + 1} \right)}}{{\left( {x + y} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)z\left( {t + 1} \right) = yz\left( {t + 1} \right) + xt\left( {z + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {xzt + yzt + xz + yz} \right) = xzt + yzt + yz + xt\)

\( \Leftrightarrow xz = xt\)

\( \Leftrightarrow z = t\)