Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng (H) (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh tr
19/22
Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng \(\left( H \right)\)( phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Hình \(\left( H \right)\) nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\), giới hạn bởi các đoạn thẳng \(AM,BP\)(với \(M,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AD,BC\), \(MP\,{\rm{//}}\,AB\)), cung tròn \(MN\) (có tâm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AE\) nằm trên trục \(AB\)) và cung parabol \(NP\). Biết \[AB = 5\,{\rm{dm}},\,\,AM = 1,5\,{\rm{dm}},\,\,BP = 1,5\,{\rm{dm}},\,\,BE = 1\,{\rm{dm}}\]. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp \(N\) là trùng nhau để đảm bảo thành bình mượt mà, chịu lực tốt và đảm bảo tính thẩm mỹ. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa bao nhiêu lít nước? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục). 
Đáp án: \(66,9\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv A\), điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\).
Ta có: \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {A{M^2} + A{I^2}} = \frac{5}{2}\).
Phương trình của đường tròn chứa cung \(MN\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - 2} \right)^2}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(N\left( {4;1;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN} \) là VTPT: \(y = - \frac{4}{3}x + \frac{{41}}{6}\).
Giả sử phương trình của cung parabol \(NP\): \(y = a{x^2} + bx + c\).
Parabol đi qua hai điểm \(N\left( {4;1;5} \right),P\left( {5;1,5} \right)\) và \(y'\left( 4 \right) = - \frac{4}{3}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 1,5\\25a + 5b + c = 1,5\\8a + b = - \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b = - 12\\c = \frac{{169}}{6}\end{array} \right.\).
Thể tích của bình là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\frac{{25}}{4} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\frac{4}{3}{x^2} - 12x + \frac{{169}}{6}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \approx 66,9\) (lít).