Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm 4 kĩ sư chế biến thực phẩm, 3 kĩ thuật viên và 13 công nhân. Xưởng cần chia thành 3 ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca I có 6 người và 2 ca

Đáp án

Số cách xếp để ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân là 17667936.

Số cách xếp để mỗi ca có 1 kĩ thuật viên và ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm là 18162144.

Giải thích

Để ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân, ta làm theo các bước:

+) Chọn 6 người ca I trong đó có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân có \(C_3^1\).\(C_4^2\).\(C_{13}^3\) cách.

+) Chọn 7 người ca II có \(C_{14}^7\) cách.

+) Chọn 7 người ca III có \(C_7^7\) cách.

Vậy có \(C_3^1\).\(C_4^2\).\(C_{13}^3\).\(C_{14}^7.C_7^7 = 17667936\) cách.

- Để mỗi ca có 1 kĩ thuật viên và ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm, ta có các trường hợp:

TH1.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 3 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là \(\left( {C_3^1.C_4^2.C_{13}^3} \right).\left( {C_2^1.C_2^1.C_{10}^5} \right) \cdot \left( {C_1^1.C_1^1.C_5^5} \right) = 5189184\).

TH2.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là \(\left( {C_3^1.C_4^1.C_{13}^4} \right).\left( {C_2^1.C_3^2.C_9^4} \right).\left( {C_1^1.C_1^1.C_5^5} \right) = 6486480\).

TH3.

Ca I có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 4 công nhân.

Ca II có 1 kĩ thuật viên, 1 kĩ sư và 5 công nhân.

Ca III có 1 kĩ thuật viên, 2 kĩ sư và 4 công nhân.

Số cách chọn cho trường hợp này là \(\left( {C_3^1.C_4^1.C_{13}^4} \right).\left( {C_2^1.C_3^1.C_9^5} \right).\left( {C_1^1.C_2^2.C_4^4} \right) = 6486480\).

Vậy có \(5189184 + 6486480 + 6486480 = 18162144\) cách.