Một xưởng sản xuất thiết bị gia dụng dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm trong một đợt. Tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm được mô tả bằng: F ( x ) = − x^2 + 8000x + 100.000 (đồng).

19/22

Một xưởng sản xuất thiết bị gia dụng dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm trong một đợt. Tổng doanh thu khi bán hết\(x\)sản phẩm được mô tả bằng:\(F\left( x \right) = - {x^2} + 8000x + 100000\) (đồng). Chi phí (điện, khấu hao máy, lương công nhân vận hành…) để sản xuất một sản phẩm là:\(G\left( x \right) = \frac{{100000}}{{2x + 5}}\)(đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu khi chưa chiết khấu là:\(H\left( x \right) = 50{x^2} + 2000x + 50000\)(đồng). Công ty cung cấp nguyên liệu đang chạy chương trình khuyến mại nhân dịp kỷ niệm thành lập công ty nên giảm \(5\% \) tổng tiền mua nguyên liệu này. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm trong dịp này để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải thích

Đáp án: 63.

Chi phí vật liệu khi được chiết khấu: \(C\left( x \right) = \left( {1 - 5\% } \right)H\left( x \right) = 47,5{x^2} + 1900x + 47500\) đồng.

Lợi nhuận: \(L\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) - C\left( x \right) = - 48,5{x^2} + 6100x - \frac{{100000x}}{{2x + 5}} + 52500\) với \(x \in \left[ {0,400} \right]\)

\( \Rightarrow L'\left( x \right) = - 97x + 6100 + \frac{{500000}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \simeq - 6,8\\x \simeq 2,1\\x \simeq 62,58\end{array} \right.\).

\(L\left( 0 \right) = 52500,L\left( {2,1} \right) \simeq 42270,L\left( {62,58} \right) \simeq 196220,28,L\left( {400} \right) = - 531789\)

\( \Rightarrow MaxL\left( x \right) = L\left( {62,58} \right) = 196220,28\) khi \(x \simeq 62,8 \simeq 63\).