Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc. Số lượng robot sản xuất mỗi tháng là x (chiếc), với x ∈ N* và 10 ≤ x ≤ 500.

Đáp án: 196

Ta có lợi nhuận của xưởng một tháng là \(L\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450\)

Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu \(1,5\) tỷ đồng mỗi tháng thì ta cần có

\(L\left( x \right) \ge 1500\)\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450 \ge 1500\)

\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950 \ge 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 12 - 0,75.{e^{0,005x}}\)

Với \(10 \le x \le 500\) ta có \(0,005x \le 2,5\)\( \Rightarrow {e^{0,005x}} \le {e^{2,5}} \approx 12,182\)

Suy ra \(f'\left( x \right) \ge 12 - 0,75.12,182 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {10;500} \right]\)

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ \(x \approx 195,7669\)

Tính \(f\left( {196} \right) \approx 2,332 > 0\) , vì hàm số đồng biến nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 196\)

Vậy xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất \(196\) robot mỗi tháng.