Một xưởng sản xuất nhận được đơn đặt hàng 45 000 vỏ hộp giấy đựng sản phẩm. Xưởng có nhiều máy dập hộp tự động, mỗi máy khi hoạt động có thể sản xuất 7 500 vỏ hộp trong một giờ. Để sử dụng mộ

Tổng số lượng đơn hàng: 45.000 vỏ hộp.

Năng suất mỗi máy: 7.500 vỏ hộp/giờ.

Chi phí khởi động mỗi máy: 300.000 đồng/máy.

Tiền công kỹ thuật viên: 300.000 đồng/giờ (giám sát tất cả máy cùng lúc).

Biến số: Gọi \(x\) là số lượng máy xưởng sử dụng (\(x > 0,x \in \mathbb{N}\)).

Đầu tiên, ta tính thời gian cần thiết để hoàn thành đơn hàng khi sử dụng \(x\) máy \(t = \frac{{45.000}}{{x \cdot 7.500}} = \frac{6}{x}\) (giờ)

Tổng chi phí \(C(x)\) bao gồm hai loại:

Chi phí khởi động máy: \(300 \cdot x\) (nghìn đồng).

Chi phí thuê kỹ thuật viên: \(300 \cdot t = 300 \cdot \frac{6}{x} = \frac{{1.800}}{x}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí là \(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x}{\rm{ (}}x > 0)\)

Áp dụng AM-GM cho \[300x\] và \(\frac{{1.800}}{x}\):

\(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x} \ge 2\sqrt {300x \cdot \frac{{1.800}}{x}} \)

\(C(x) \ge 2\sqrt {540.000}  \approx 1\,469,69\) (nghìn đồng)

 Dấu “=” xảy ra khi \(300x = \frac{{1.800}}{x}\) suy ra \({x^2} = \frac{{1.800}}{{300}} = 6\) suy ra \(x = \sqrt 6  \approx 2,45\)

Vì số lượng máy \(x\) phải là số nguyên dương, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên lân cận của 2,45 là \(x = 2\) và \(x = 3\):

Với \(x = 2\): \(C(2) = 300(2) + \frac{{1.800}}{2} = 600 + 900 = 1.500\) (nghìn đồng).

Với \(x = 3\): \(C(3) = 300(3) + \frac{{1.800}}{3} = 900 + 600 = 1.500\) (nghìn đồng).

Cả hai phương án đều cho tổng chi phí thấp nhất là 1.500.000 đồng.

Vậy xưởng nên sử dụng 2 máy hoặc 3 máy để tối ưu hóa chi phí.