Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II: * Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn đồng.

Gọi \(x,y\) (đơn vị: kg) lần lượt là khối lượng sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\)).

Số nguyên liệu sử dụng: \(2x + 4y{\rm{\;(kg)}}\).

Số giờ làm việc sử dụng: \(30x + 15y\) (giờ).

Theo bài ra, ta có hệ bất phương trình ràng buộc: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 4y \le 200}\\{30x + 15y \le 1200}\end{array}} \right.\) hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + 2y \le 100}\\{2x + y \le 80}\end{array}} \right.\].

Số tiền lời thu được là: \(F\left( {x;y} \right) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(OABC\) kể cả biên với các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {40;0} \right)\) (giao điểm của \(2x + y = 80\) với trục \(Ox\))

\(B\left( {20;40} \right)\) (giao điểm của hai đường thẳng \(x + 2y = 100\) và \(2x + y = 80\))

\(C\left( {0;50} \right)\) (giao điểm của \(x + 2y = 100\) với trục \(Oy\))

Tính giá trị của \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh:

\(F\left( O \right) = F\left( {0;0} \right) = 0\)

\(F\left( A \right) = F\left( {40;0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\)

\(F\left( B \right) = F\left( {20;40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 800 + 1200 = 2000\)

\(F\left( C \right) = F\left( {0;50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\)

So sánh các giá trị, \(F\left( {x;y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2000\) nghìn đồng tại \(x = 20\) và \(y = 40\).

Kết luận: Xưởng nên sản xuất \(20{\rm{\;kg}}\) sản phẩm loại I và \(40{\rm{\;kg}}\) sản phẩm loại II để thu được lợi nhuận cao nhất.