Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện, 1 chiếc ghế cần 1

a) Thời gian lắp ráp tối đa mỗi ngày là \(3 \cdot 8 = 24\) giờ.

Thời gian hoàn thiện tối đa mỗi ngày là \(4 \cdot 8 = 32\) giờ.

Thời gian lắp ráp cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(1,5x + y\) (giờ).

Thời gian hoàn thiện cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(x + 2y\)(giờ).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\1,5x + y \le 24\\x + 2y \le 32\\y \le 3,5x\end{array} \right.\) (I).

b) Tiền lãi mà xưởng thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) nghìn đồng.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;14} \right),B\left( {8;12} \right),C\left( {16;0} \right)\).

Ta có \(F\left( {0,0} \right) = 600 \cdot x + 450 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,14} \right) = 600 \cdot 4 + 450 \cdot 14 = 8700\);

\(F\left( {8,12} \right) = 600 \cdot 8 + 450 \cdot 12 = 10200\); \(F\left( {16,0} \right) = 600 \cdot 16 + 450 \cdot 0 = 9600\).

Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất là 10200 nghìn đồng khi \(x = 8;y = 12\).

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được lãi cao nhất.