Một xưởng cơ khí có hai máy sản xuất là máy A và máy B . Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm C và D . Mỗi sản phẩm C lãi 60 000 đồng, mỗi sản phẩm loại D lãi 40 000 đồng.

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm \(C\) và \(D\) được sản xuất ra.

Do máy \(A\) không thể hoạt động quá 180 giờ nên ta có: \(3x + 2y \le 180\).

Do máy \(B\) không thể hoạt động quá 220 giờ nên ta có: \(x + 6y \le 220\).

Do \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm \(C\) và \(D\) nên ta có: \(x \ge 0;y \ge 0\).

Do đó, ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên ta được như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh là: \(O\left( {0;\,\,0} \right)\),\(A\left( {60;0} \right)\), \(B\left( {40;30} \right)\), \(C\left( {0;\,\,\frac{{110}}{3}} \right)\).

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là \(T = 60\,000x + 40\,\,000y\) (đồng).

Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\). Mà dễ thấy \(C\) có tọa độ không nguyên nên loại. Ta tính giá trị biểu thức \(T\) tại các điểm \(A\left( {60;0} \right)\), \(B\left( {40;30} \right)\).

Tại \(A\left( {60;0} \right)\) ta có: \(T = 60\,000 \cdot 60 + 40\,000 \cdot 0 = 3\,\,600\,\,000\) (đồng)

Tại \(B\left( {40;30} \right)\) ta có: \(T = 60\,000 \cdot 40 + 40\,000 \cdot 30 = 3\,\,600\,\,000\) (đồng)

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 3 triệu 600 nghìn đồng.