Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và I I . Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm I I bán lãi 400 nghìn đồng.

19/22

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm \(I\) và \(II\). Mỗi sản phẩm \(I\) bán lãi \(500\) nghìn đồng, mỗi sản phẩm \(II\) bán lãi \(400\) nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm \(I\) thì Chiến phải làm việc trong \(3\) giờ, Bình phải làm việc trong \(1\) giờ. Để sản xuất được một sản phẩm \(II\) thì Chiến phải làm việc trong \(2\) giờ, Bình phải làm việc trong \(6\) giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá \(180\) giờ và Bình không thể làm việc quá \(220\) giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là bao nhiêu triệu đồng?

Giải thích

Đáp án: \(32\)

Gọi \(x\) là số sản phẩm \(I\) được sản xuất (\(x \ge 0\), \(x \in \mathbb{N}\)).

Gọi \(y\) là số sản phẩm \(II\) được sản xuất (\(y \ge 0\), \(y \in \mathbb{N}\)).

Tổng tiền lãi (tính bằng nghìn đồng) là: \(F\left( {x,y} \right) = 500x + 400y\)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x,y} \right) = 500x + 400y\).

Thời gian làm việc của Chiến: \(3x + 2y \le 180\quad \left( {\rm{1}} \right)\)

Thời gian làm việc của Bình: \(x + 6y \le 220\quad \left( {\rm{2}} \right)\)

Ta thiết lập được hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \le 180}\\{x + 6y \le 220}\\{x \ge 0,y \ge 0}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất ph (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right)\); \(A\left( {60;0} \right)\); \(B\left( {40;30} \right)\);\(C\left( {0;\frac{{110}}{3}} \right)\)

Ta có: \(F\left( {0;0} \right) = 0;\,\,F\left( {60;0} \right) = 30\,000;\,F\left( {40;30} \right) = 32\,000;\,\,F\left( {0;\frac{{110}}{3}} \right) = \frac{{44\,000}}{3} \approx 14\,666,67\)

Giá trị lớn nhất của \(F\) là \(32000\) nghìn đồng hay 32 triệu đồng.