Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang kín hai đầu, được chia làm hai ngăn nhờ một pit-tông mỏng có khối lượng
24/27
Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang kín hai đầu, được chia làm hai ngăn nhờ một pit-tông mỏng có khối lượng \({\rm{m}} = 400{\rm{\;g}}\), diện tích tiết diện \({\rm{S}} = 100{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Pit-tông cách nhiệt và có thể dịch chuyển không ma sát bên trong xi lanh. Hai ngăn của xi lanh có hai lò xo nhẹ có độ cứng bằng nhau và bằng \({\rm{k}} = 10{\rm{\;N/m}}\). Lò xo thứ nhất có chiều dài tự nhiên \({l_1} = 50{\rm{\;cm}}\) được gắn một đầu với đầu A của xi lanh và một đầu gắn với pit-tông, lò xo thứ hai có chiều dài tự nhiên \({l_2} = 30{\rm{\;cm}}\) được gắn một đầu với đầu \(B\) của xi lanh và một đầu gắn với pit-tông như hình vẽ. Lúc đầu áp suất khí hai bên xi lanh bằng nhau là \({1,2.10^5}{\rm{\;N/}}{{\rm{m}}^2}\), pit-tông cân bằng và các lò xo dài tự nhiên. Cho biết \({\mu _{{\rm{He}}}} = 4{\rm{\;g/mol}},\) \({\mu _{{{\rm{O}}_2}}} = 32\,\,{\rm{g/mol}}\), lấy \(R = 8,31{\rm{\;J/mol}}.{\rm{K}}\). Nếu cho xi lanh quay với vận tốc góc \(\omega \) xung quanh trục thẳng đứng OZ đi qua trọng tâm của xi lanh thì khi có cân bằng tương đối, pit-tông đã dịch chuyển một đoạn \({\rm{x}} = 10{\rm{\;cm}}\). Coi rằng quá trình dịch chuyển pit-tông nhiệt độ khí trong xi lanh không thay đổi. Tốc độ góc \(\omega \) bằng bao nhiêu rad/s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phương pháp:
- Xác định các thông số \({\rm{p}},{\rm{V}}\) của ngăn trái và ngăn phải ở hai trạng thái.
- Áp dụng định luật Boyle tìm áp suất của khí ở mỗi ngăn.
- Áp dụng định luật II Newton cho pittong trong trường hợp xilanh quay: \({F_{ht}} = m{a_{ht}} = m{\omega ^2}r\).
Cách giải:
Ta có, bảng trạng thái khí ở mỗi ngăn lúc ban đầu và lúc sau:
Trạng thái | p | V |
Ngăn trái ban đầu | \({1,2.10^5}{\rm{\;Pa}}\) | S.50 |
Ngăn phải ban đầu | \({1,2.10^5}{\rm{\;Pa}}\) | S.30 |
Ngăn trái lúc sau | \({{\rm{p}}_1}\) | \({\rm{S}}.\left( {50 + 10} \right) = {\rm{S}}.60\) |
Ngăn phäi lúc sau | \({{\rm{p}}_2}\) | \({\rm{S}}.\left( {30 - 10} \right) = {\rm{S}}.20\) |
Vì quá trình đẳng nhiệt nên:
\(pV = {\rm{const\;}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{1,2.10}^5}.S.50 = {p_1}.S.60}\\{{{1,2.10}^5}.S.30 = {p_2}.S.20}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{p_1} = {{10}^5}{\rm{\;Pa}}}\\{{p_2} = {{1,8.10}^5}{\rm{\;Pa}}}\end{array}} \right.} \right.\)
Khi có cân bằng tương đối, pittong chịu tác dụng của lực do khí ở mỗi bên tác dụng và lực đàn hồi của mỗi lò xo. Khi xilanh quay thì lực tác dụng lên pittong là lực hướng tâm nên:
\({F_{ht}} = m.{a_{ht}} \Rightarrow {p_2}S + k{\rm{\Delta }}{\ell _2} + k{\rm{\Delta }}{\ell _1} - {p_1}S = m{\omega ^2}r\)
\( \Rightarrow {1,8.10^5}{.100.10^{ - 4}} + 10.0,1 + 10.0,1 - {10^5}{.100.10^{ - 4}} = 0,4.{\omega ^2}.\left( {0,1 + 0,1} \right)\)
\( \Rightarrow \omega \approx 100\left( {{\rm{rad}}/{\rm{s}}} \right)\)
Đáp án: 100.