Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus

21/22

Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là \(1\% \). Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng \(\frac{a}{b}\) (Phân số tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”.

\(B\) là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).

Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với \(20\% \) các trường hợp không thực sự nhiễm virus \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2\)

\(P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99\)

Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,2 = 0,207\)

Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}\)

Vậy \(a = 1,b = 23 \Rightarrow a + b = 24\).