Một xe tải có chiều rộng là 2 , 4 m chiều cao là 2 , 5 m muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).

Xét  vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}  = 4\;{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a =  - 1\).

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

\( \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}\)

\(({\rm{HT}}):y =  - \frac{3}{2}\)

Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - {x^2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2  \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.\)Vậy xe tải có thể đi qua cổng.