Một xe tải có chiều rộng 2,4 m và chiều cao 2,5 m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol)

Đỉnh cổng là đỉnh của parabol \(y = a{x^2}\left( {a < 0} \right)\), đỉnh cổng là \(O\left( {0;0} \right)\).

Gọi hai chân cổng là \(A,B\). \(AB\) cắt \(Oy\) tại \(H\).

Ta có: \(AH = HB = \frac{{AB}}{2}\); \(OA = OB = 2\sqrt 5 \) (\(A,B,H\) nằm dưới trục hoành)

Xét \(\Delta HOA\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có: \(O{H^2} + A{H^2} = O{A^2}\)

Suy ra \(O{H^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - {2^2} = 16\) nên \(OH = \sqrt {16}  = 4\)

Khi đó, \(H\left( {0; - 4} \right)\) suy ra \(A\left( { - 2; - 4} \right)\); \(B\left( {2; - 4} \right)\)

Vì \(A \in \left( P \right)\) nên ta có: \( - 4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) suy ra \(a =  - 1\)

Vậy cổng có dạng parabol \(y =  - {x^2}\)

Vì  chiều cao của xe tải là \(2,5m\), xét đường thẳng \(y =  - \frac{3}{2}\) (ứng với chiều cao của xe).

Hoành độ giao điểm của parabol với đường thẳng \(y =  - \frac{3}{2}\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} =  - \frac{3}{2}\)

\({x^2} = \frac{3}{2}\)

Suy ra \(x =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Khi đó toạ độ hai giao điểm là \(M\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\);\(N\left( {\frac{{ - \sqrt 6 }}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\)

Ta có: \(MN = 2.\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6  > 2,4m\)

Vậy xe tải có thể đi qua cổng.