Một viên bi có dạng hình cầu, đường kính 2 cm được cắt thành hai phần bởi một mặt phẳng như hình vẽ.
45/235
Một viên bi có dạng hình cầu, đường kính 2 cm được cắt thành hai phần bởi một mặt phẳng như hình vẽ. Biết rằng diện tích phần mặt cắt trên viên bi là \(S = \frac{{3\pi }}{4}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Tính thể tích của phần nhỏ hơn của viên bi
\(V = \frac{\pi }{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
\(V = \frac{{2\pi }}{9}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
\(V = \frac{{5\pi }}{{24}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
\(V = \frac{\pi }{6}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Gắn hệ trục toạ độ, sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Lời giải
Bán kính của phần mặt cắt là \(r = \sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{{\frac{{3\pi }}{4}}}{\pi }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Khi đó, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng cắt là \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}\).
Khối vật màu xanh chính là khối được tạo thành khi quay phần hình tròn \({x^2} + {y^2} \le 1\) nằmphía trên trục hoành, phía bên trái đường thẳng \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) quanh trục Ox (như hình minh hoạ).
Phương trình phần đường tròn nằm phía trên trục hoành là: \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \sqrt {1 - {x^2}} \).
Khi đó, thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
