Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (R) (phần được tô màu trong hình vẽ dưới) quanh trục AB. Miền (R) được giới hạn bởi các cạnh AB, AD của hình vuông AB

Đáp án: 12,3.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\) trùng với điểm \(A(0,0)\).

Trục \(Ox\) chứa đoạn \(AB\).

Trục \(Oy\) chứa đoạn \(AD\).

Theo giả thiết, các đường tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm là trung điểm của\(AD,\,AB\).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là \(2\,{\rm{cm}}\).

Ta có tọa độ các điểm: \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;2)\).

Xác định phương trình các đường biên của miền \((R)\)

Miền (R) được giới hạn phía trên bởi hai cung tròn nối tiếp nhau tại điểm \((1;1)\):

Cung thứ nhất: Nằm trên đường tròn tâm \(M(0;1)\) (trung điểm \(AD\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Vì phần miền này nằm phía trên đường \(y = 1\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_1}(x) = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \quad ;x \in [0,1]\)

Cung thứ hai: Nằm trên đường tròn tâm \(N(1;0)\) (trung điểm \(AB\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({(x - 1)^2} + {y^2} = 1\).

Vì phần này nằm trên trục \(Ox\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_2}(x) = \sqrt {1 - {{(x - 1)}^2}} \quad ;x \in [1,2]\)

Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích \(V\) khi quay miền \((R)\) quanh trục \(Ox\) (tức cạnh \(AB\)) là tổng thể tích của hai phần:

\(V = \pi \int_0^1 {{{\left( {{f_1}\left( x \right)} \right)}^2}dx + } \pi \int_1^2 {{{\left( {{f_2}\left( x \right)} \right)}^2}dx = {V_1} + {V_2}} \)

Tính \({V_1}\):

\({V_1} = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^1 {\left( {2 - {x^2} + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx = \pi \left( {\frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Tính \({V_2}\):

Phần này thực chất là thể tích của nửa khối cầu bán kính R=1.

\({V_2} = \pi \int_1^2 {\left( {1 - {{(x - 1)}^2}} \right)} dx = \frac{{2\pi }}{3}\)

Tổng thể tích:

\(V = {V_1} + {V_2} = \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right) + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2} \approx 12,265{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).