Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (R) (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục AB.
22/22
Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình \(\left( {H1} \right)\) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( R \right)\) (phần gạch chéo trong hình \(\left( {H2} \right)\) quanh trục \(AB\). Hình phẳng \(\left( R \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB,AD\) của hình vuông \(ABCD\) tâm \(I\), độ dài cạnh \(4\,{\rm{cm}}\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,AB\). Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng bao nhiêu centimet khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?
Đáp án: 98,1
Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ
Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).
Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).
Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).
Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).
Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).